Espansione esponenziale

Tradizionalmente, la crescita della popolazione è correlata con l’innalzamento degli indici socioeconomici e finanziari, al punto che non soltanto diamo per scontata l’espansione esponenziale, ma l’abbiamo in realtà elevata ad assioma. Il nostro intero paradigma sociale ed economico è predisposto per dare continuo impulso a una crescita esponenziale illimitata.

(Geoffrey West, Scala)

Si narra che un giorno un mercante si recò dal Re per mostrargli un gioco da lui inventato: si trattava del gioco degli scacchi. Il Re, incuriosito, se ne fece spiegare le regole e, dopo alcune prove, volle subito sfidare il mercante per provare a vincere. Il Re e il mercante giocarono tutta la notte e, nonostante le ripetute sconfitte, il Re si divertì moltissimo. Come forma di gratitudine, il Re chiese al suo ospite cosa desiderasse in dono. Il mercante rispose umilmente che si sarebbe accontentato di ricevere un chicco di riso sulla prima casella della scacchiera, due chicchi sulla seconda, quattro chicchi sulla terza, otto sulla quarta, e così via sino alla sessantaquattresima casella che completava la scacchiera. Il Re, stupito da tanta modestia, ordinò ai suoi funzionari di accontentare immediatamente la richiesta del mercante.

I funzionari cominciarono a contare quanti chicchi di riso avrebbero dovuto consegnare al mercante, ma – proseguendo nei calcoli – si accorsero che il numero dei chicchi da consegnare cresceva enormemente. Trascorsi alcuni giorni, si presentarono stupefatti e mortificati al cospetto del loro sovrano: per accontentare la richiesta dell’ospite, non solo non sarebbe bastato il raccolto dell’intero paese, ma nemmeno quello di tutto il mondo allora conosciuto.

Il numero dei chicchi di riso che si sarebbero dovuti posare sull’ultima casella della scacchiera sarebbe stato pari a 2 elevato a 63, pari a poco meno di dieci milioni di trilioni di chicchi di riso. Una quantità di riso inimmaginabile, che nemmeno oggi si riuscirebbe a produrre in tutto il mondo in un anno.

Ho incontrato diverse volte, durante il mio percorso di studi, il fenomeno della crescita esponenziale, ma raramente mi sono fermata a riflettere sulle sue modalità di funzionamento e sui suoi effetti.

Già all’università, studiando la funzione monetaria delle banche, sono rimasta stupita dalla possibilità che esse hanno di creare moneta attraverso la moltiplicazione dei depositi. Il mio pensiero semplicistico di allora si limitava a dare per scontato che, una volta depositata una somma di denaro in banca, questa rimanesse lì ferma ad aspettare un mio futuro ritiro per poterla utilizzare. Durante gli studi, ho invece capito che la banca avrebbe rimesso in circolazione il denaro depositato sul conto, immobilizzandone solo una piccola parte come forma di garanzia sui depositi, e dandolo quindi in prestito ad altri clienti, i quali, a loro volta, lo avrebbero depositato su un loro conto per poterlo utilizzare successivamente, e così via.

Con questo sistema, il denaro depositato in banca diventava un flusso che rigenerava sé stesso, rendendo possibile una moltiplicazione sia dei depositi che dei prestiti e, come conseguenza, una moltiplicazione dei ricavi per la banca stessa. Ho così capito che non ero solo una cliente della banca per il servizio che ricevevo e che pagavo, ma che in realtà ero soprattutto una fornitrice involontaria della risorsa primaria della banca.

Solo quando ho cominciato a coltivare la terra mi sono resa conto veramente di cosa significasse la crescita esponenziale e di come io ne fossi, in qualche modo, artefice inconsapevole. Bastava piantare, ad esempio, un seme di pomodoro per far crescere una pianta che avrebbe prodotto decine e decine di frutti, ognuno dei quali aveva al suo interno decine e decine di semi. Un singolo seme si sarebbe così moltiplicato, in un tempo piuttosto breve, in migliaia di semi, che avrebbero potuto dar vita ad altre migliaia di piante, con decine di migliaia di frutti, con centinaia di migliaia di semi… Una crescita così vertiginosa che la mia mente faticava a immaginare.

Questo non solo mi ha fatto capire l’enorme potenza della vita nel suo propagarsi pressoché infinito, ma anche che ero – ancora una volta – caduta nella prospettiva sbagliata: vedevo il riflesso nello specchio considerandolo la realtà. Mentre io coltivavo le piante dell’orto per raccoglierne i frutti, erano le piante che, attraverso di me, si assicuravano la possibilità di propagarsi indefinitamente. Guardavo il dito e non la Luna che indicava.

La crescita esponenziale è un modello matematico: mentre la crescita lineare è sempre della stessa quantità a intervalli di tempo regolari, la crescita esponenziale si verifica quando, a intervalli di tempo uguali, corrispondono incrementi pari a una frazione costante del totale. La differenza tra un modello di crescita e l’altro è facilmente comprensibile nell’esempio del risparmio di somme di denaro: se ogni mese metto da parte 100 euro, a fine anno avrò risparmiato 1200 euro. E così l’anno dopo ne avrò risparmiati 2400, e così via, secondo un processo di crescita costante. Se, invece, sulle somme risparmiate ottengo un interesse che va ad aggiungersi alla somma risparmiata e sulla quale matureranno ulteriori interessi, ecco che la crescita – più o meno contenuta a seconda del valore della somma iniziale e del tasso di interesse – diventerà esponenziale.

Può essere interessante valutare la crescita esponenziale in termini di “tempo di raddoppio”, ovvero il tempo necessario perché una grandezza raddoppi il proprio valore.

È noto l’esperimento mentale che riproduce la coltivazione dei batteri in vitro: supponiamo di avere un becher in cui si pone in coltura un batterio alle ore 8 del mattino, dando nutrienti sufficienti per avere il becher completamente pieno di batteri alle 12. Questo batterio si riproduce per suddivisione ogni minuto: alle 8.01 avremo due batteri, alle 8.02 ne avremo quattro, alle 8.03 ne avremo 8, poi 16, 32, 64, e così via. Se il becher sarà completamente pieno alle 12, a che ora il becher sarà stato pieno per metà? Un minuto prima delle 12, e non, come molti erroneamente pensano, verso le 10, a metà mattina.

Questo significa che due minuti prima delle 12 il becher era pieno per un quarto, cioè per il 25%, tre minuti prima per un ottavo, pari al 12,50%, quattro minuti prima per un sedicesimo, pari al 6,25%, e cinque minuti prima era pieno solo per un trentaduesimo, pari a poco più del 3%. Una quantità così piccola da far sembrare il becher semivuoto per un tempo relativamente molto lungo, dalle 8 alle 11.55. Difficile pensare che in soli cinque minuti i batteri sarebbero esplosi al punto da non avere più nutrienti sufficienti per riprodursi e, quindi, essere soggetti al collasso. Per mantenere in vita tutti i batteri presenti e consentire loro di proseguire nella crescita, sarebbe necessario avere a disposizione altri due becher ricchi di nutrienti, ma in questo caso sarebbe sufficiente un solo minuto per riempirli entrambi.

Pertanto, la quantità di batteri nel becher, fino alle 11.55, è stata così bassa da non destare preoccupazione ad un osservatore disattento. Se si dovesse cadere nell’illusione della crescita lineare, si supporrebbe che non vi sia alcun problema di scarsità di risorse e di sopravvivenza per un tempo indefinito, commettendo così un errore di valutazione gravissimo. Solo gli ultimi tre o quattro minuti, sui sessanta a disposizione, possono riuscire a risvegliare la preoccupazione in chi osserva: ma ormai potrebbe essere troppo tardi per porvi rimedio.

Nonostante si studino questi fenomeni da anni, non siamo ancora preparati ad affrontarli, ed i nostri tempi di reazione non sono adeguati al procedere di questi eventi. Continuiamo ad avere una visione semplicistica e lineare dello sviluppo e dell’intreccio dei fenomeni, e dimentichiamo di prestare attenzione anche a ciò che sembra di scarsa importanza solo perché quantitativamente irrilevante. Rischiamo così di cercare di intervenire quando ormai è troppo tardi, ricorrendo a rimedi drastici per riuscire a scongiurare il peggio, ottenendo tuttavia risultati molto limitati e incerti.